Odwrócone wahadło: teoria sterowania i dynamika: 17 kroków (ze zdjęciami)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-30 11:30

Odwrócone wahadło jest klasycznym problemem w teorii dynamiki i sterowania, który jest na ogół opracowywany na zajęciach z fizyki lub matematyki w szkołach średnich i na studiach licencjackich. Będąc entuzjastą matematyki i nauk ścisłych, postanowiłem spróbować wykorzystać pojęcia, których nauczyłem się na zajęciach, do zbudowania odwróconego wahadła. Stosowanie takich pojęć w prawdziwym życiu nie tylko pomaga wzmocnić zrozumienie pojęć, ale także wystawia na zupełnie nowy wymiar problemów i wyzwań, które dotyczą praktyczności i rzeczywistych sytuacji, których nigdy nie można spotkać na zajęciach teoretycznych.

W tej instrukcji najpierw przedstawię problem odwróconego wahadła, następnie omówię teoretyczny aspekt problemu, a następnie omówię sprzęt i oprogramowanie wymagane do wprowadzenia tej koncepcji w życie.

Proponuję obejrzeć film, który jest dołączony powyżej, przechodząc przez instrukcje, które pozwolą ci lepiej zrozumieć.

I na koniec, nie zapomnij oddać głosu w „Konkursie naukowym w klasie”, jeśli podobał Ci się ten projekt i możesz zostawić wszelkie pytania w sekcji komentarzy poniżej. Miłego robienia!:)

Krok 1: Problem

Problem odwróconego wahadła jest analogiczny do balansowania miotłą lub długim kijem na dłoni, czego większość z nas próbowała jako dziecko. Kiedy nasze oczy widzą, jak kij spada w pewną stronę, wysyłają tę informację do mózgu, który wykonuje pewne obliczenia, a następnie instruuje ramię, aby przemieściło się do określonej pozycji z określoną prędkością, aby przeciwdziałać ruchowi bieguna, co, miejmy nadzieję, spowoduje wywrotka z powrotem do pionu. Ten proces powtarza się kilkaset razy na sekundę, dzięki czemu masz całkowitą kontrolę nad tyczką. Wahadło odwrócone działa w podobny sposób. Celem jest zrównoważenie wahadła do góry nogami na wózku, który może się poruszać. Zamiast oczu do wykrywania położenia wahadła wykorzystywany jest czujnik, który przesyła informacje do komputera, który wykonuje pewne obliczenia i instruuje siłowniki, aby przemieściły wózek w taki sposób, aby ponownie ustawić wahadło w pionie.

Krok 2: Rozwiązanie

Ten problem równoważenia wahadła do góry nogami wymaga wglądu w ruchy i siły, które działają w tym systemie. Ostatecznie ten wgląd pozwoli nam wymyślić „równania ruchu” systemu, które można wykorzystać do obliczenia relacji między wyjściem, które trafia do siłowników, a wejściami pochodzącymi z czujników.

Równania ruchu można wyprowadzić na dwa sposoby, w zależności od poziomu. Można je wyprowadzić przy użyciu podstawowych praw Newtona i niektórych matematyki na poziomie szkoły średniej lub przy użyciu mechaniki Lagrange'a, która jest zwykle wprowadzana na studiach licencjackich z fizyki. (Uwaga: Wyprowadzanie równań ruchu przy użyciu praw Newtona jest proste, ale żmudne, podczas gdy użycie mechaniki Lagrange'a jest znacznie bardziej eleganckie, ale wymaga zrozumienia mechaniki Lagrange'a, chociaż oba podejścia ostatecznie prowadzą do tego samego rozwiązania).

Oba podejścia i ich formalne wyprowadzenia są zwykle omawiane na lekcjach matematyki lub fizyki w szkole średniej lub na studiach licencjackich, chociaż można je łatwo znaleźć za pomocą prostej wyszukiwarki Google lub odwiedzając ten link. Obserwując końcowe równania ruchu dostrzegamy zależność między czterema wielkościami:

• Kąt wahadła do pionu
• Prędkość kątowa wahadła
• Przyspieszenie kątowe wahadła
• Przyspieszenie liniowe wózka

Gdzie pierwsze trzy to wielkości, które będą mierzone przez czujnik, a ostatnia wielkość zostanie wysłana do siłownika w celu wykonania.

Krok 3: Teoria kontroli

Teoria sterowania to poddziedzina matematyki zajmująca się sterowaniem i obsługą systemów dynamicznych w procesach inżynierskich i maszynach. Celem jest opracowanie modelu sterowania lub pętli sterowania, aby ogólnie osiągnąć stabilność. W naszym przypadku zrównoważ wahadło do góry nogami.

Istnieją dwa główne typy pętli sterowania: sterowanie w pętli otwartej i sterowanie w pętli zamkniętej. Realizując sterowanie w pętli otwartej, działanie sterujące lub polecenie ze sterownika jest niezależne od wyjścia systemu. Dobrym przykładem jest piec, w którym czas, przez jaki piec pozostaje, zależy wyłącznie od timera.

Natomiast w systemie z zamkniętą pętlą polecenie sterownika jest zależne od sprzężenia zwrotnego ze stanu systemu. W naszym przypadku sprzężeniem zwrotnym jest kąt wahadła w stosunku do normalnej, który określa prędkość i położenie wózka, co czyni ten układ układem z zamkniętą pętlą. Powyżej załączono wizualną reprezentację w postaci schematu blokowego systemu zamkniętej pętli.

Istnieje kilka technik mechanizmu sprzężenia zwrotnego, ale jedną z najczęściej stosowanych jest regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący (regulator PID), którego będziemy używać.

Uwaga: Zrozumienie działania takich kontrolerów jest bardzo przydatne w opracowaniu udanego kontrolera, chociaż wyjaśnienie działania takiego kontrolera wykracza poza zakres tej instrukcji. Jeśli nie natknąłeś się na tego typu kontrolery na swoim kursie, znajdziesz mnóstwo materiałów online, a proste wyszukiwanie w Google lub kurs online pomoże.

Krok 4: Wdrażaj ten projekt w swojej klasie

Grupa wiekowa: Ten projekt jest przeznaczony przede wszystkim dla uczniów szkół średnich lub studentów, ale może być również prezentowany młodszym dzieciom po prostu jako demonstracja, przedstawiając przegląd koncepcji.

Omówione koncepcje: Główne koncepcje objęte tym projektem to dynamika i teoria sterowania.

Wymagany czas: Po zebraniu i wyprodukowaniu wszystkich części montaż zajmuje od 10 do 15 minut. Stworzenie modelu kontrolnego wymaga trochę więcej czasu, na to uczniom można dać od 2 do 3 dni. Po tym, jak każdy uczeń (lub grupy uczniów) opracuje swoje modele kontroli, można wykorzystać kolejny dzień na zademonstrowanie przez poszczególne osoby lub zespoły.

Jednym ze sposobów na wdrożenie tego projektu w klasie byłoby zbudowanie systemu (opisanego w kolejnych krokach), podczas gdy grupa pracuje nad podtematami fizyki związanymi z dynamiką lub gdy uczą się systemów sterowania na lekcjach matematyki. W ten sposób pomysły i koncepcje, na które natkną się podczas zajęć, mogą zostać bezpośrednio zaimplementowane w rzeczywistej aplikacji, dzięki czemu ich koncepcje będą znacznie bardziej przejrzyste, ponieważ nie ma lepszego sposobu na nauczenie się nowej koncepcji niż wdrożenie jej w prawdziwym życiu.

Pojedynczy system można zbudować razem jako klasę, a następnie klasę można podzielić na zespoły, z których każdy buduje od podstaw model sterowania. Każdy zespół może następnie zademonstrować swoją pracę w formacie zawodów, w którym najlepszy model kontroli to taki, który może zrównoważyć najdłuższy i wytrzymać szturchnięcia i pchnięcia.

Innym sposobem na wdrożenie tego projektu w klasie byłoby stworzenie starszych dzieci (na poziomie szkoły średniej), rozwinięcie tego projektu i zademonstrowanie go młodszym dzieciom, dając im jednocześnie przegląd dynamiki i kontroli. Może to nie tylko wzbudzić zainteresowanie fizyką i matematyką u młodszych dzieci, ale także pomoże starszym uczniom skrystalizować ich koncepcje teorii, ponieważ jednym z najlepszych sposobów na wzmocnienie swoich koncepcji jest wyjaśnianie ich innym, zwłaszcza młodszym dzieciom, ponieważ jest to wymagane formułować swoje pomysły w bardzo prosty i jasny sposób.

Krok 5: Części i materiały

Wózek będzie mógł swobodnie poruszać się po zestawie szyn dających mu jeden stopień swobody. Oto części i materiały potrzebne do wykonania wahadła oraz systemu wózków i szyn:

Elektronika:

• Jedna płytka kompatybilna z Arduino, każda będzie działać. Polecam Uno, jeśli nie masz zbyt dużego doświadczenia z elektroniką, ponieważ będzie łatwiej śledzić.
• Jeden silnik krokowy Nema17, który będzie działał jako siłownik wózka.
• Jeden sterownik silnika krokowego, znowu wszystko będzie działać, ale polecam sterownik silnika krokowego A4988, ponieważ będzie po prostu łatwiejszy do naśladowania.
• Jeden sześcioosiowy MPU-6050 (żyroskop + akcelerometr), który wykryje różne parametry, takie jak kąt i prędkość kątowa wahadła.
• Jeden zasilacz 12 V 10 A, 10 A, jest w rzeczywistości niewielką przesadą dla tego konkretnego projektu, wszystko powyżej 3 A będzie działać, ale możliwość poboru dodatkowego prądu pozwala na przyszły rozwój, w którym może być wymagana większa moc.

Sprzęt komputerowy:

• 16 x łożyska, ja używałem łożysk do deskorolki i działały świetnie
• 2 x GT2 koła pasowe i pasek
• Około 2,4 metra 1,5-calowej rury PVC
• Wiązka 4 mm nakrętek i śrub

Niektóre części, które zostały użyte w tym projekcie, zostały również wydrukowane w 3D, dlatego posiadanie drukarki 3D będzie bardzo przydatne, chociaż lokalne lub internetowe urządzenia do drukowania 3D są powszechnie dostępne.

Całkowity koszt wszystkich części to tylko nieco mniej niż 50 $ (bez drukarki 3D)

Krok 6: Części drukowane 3D

Niektóre części wózka i systemu szyn musiały być wykonane na zamówienie, więc skorzystałem z Autodesk Fusion360 do modelowania plików cad i drukowania ich w 3D na drukarce 3D.

Niektóre części, które miały kształty czysto 2D, takie jak wahadło i łoże suwnicy, zostały wycięte laserem, ponieważ było to znacznie szybsze. Wszystkie pliki STL są załączone poniżej w spakowanym folderze. Oto pełna lista wszystkich części:

• 2 x rolka bramowa
• 4 x zaślepki
• 1 x wspornik krokowy
• 2 x uchwyt łożyska koła pasowego jałowego
• 1 x uchwyt wahadła
• 2 x mocowanie do paska
• 1 x uchwyt łożyska wahadła (a)
• 1 x uchwyt łożyska wahadłowego (b)
• 1 x podkładka dystansowa otworu koła pasowego
• 4 x podkładka dystansowa otworu łożyska
• 1 x płyta bramowa
• 1 x płyta uchwytu krokowego
• 1 x płyta uchwytu koła pasowego bezczynności;
• 1 x wahadło (a)
• 1 x wahadło (b)

W sumie są 24 części, których wydruk nie trwa zbyt długo, ponieważ części są małe i można je wydrukować razem. W trakcie tej instrukcji będę odnosić się do części opartych na nazwach z tej listy.

Krok 7: Montaż rolek bramowych

Rolki bramowe są jak koła wózka. Będą toczyć się po torze z PVC, co umożliwi płynne poruszanie się wózka przy minimalnym tarciu. Na tym etapie chwyć dwie wydrukowane w 3D rolki suwnicowe, 12 łożysk oraz kilka nakrętek i śrub. Będziesz potrzebować 6 łożysk na rolkę. Przymocuj łożyska do rolki za pomocą nakrętek i śrub (użyj zdjęć jako odniesienia). Po wykonaniu każdej rolki nasuń je na rurę PVC.

Krok 8: Montaż układu napędowego (silnik krokowy)

Wózek będzie napędzany standardowym silnikiem krokowym Nema17. Zamocuj silnik we wsporniku krokowym za pomocą śrub, które powinny być dostarczone w komplecie ze stepperem. Następnie przykręć wspornik do płyty uchwytu steppera, dopasuj 4 otwory na wsporniku do 4 na płycie i użyj nakrętek i śrub, aby połączyć je ze sobą. Następnie zamontuj koło pasowe GT2 na wale silnika i przymocuj 2 zaślepki do płyty uchwytu krokowego od dołu za pomocą większej liczby nakrętek i śrub. Po zakończeniu możesz wsunąć zaślepki na rury. W przypadku, gdy dopasowanie jest zbyt dobre, zamiast na siłę wciskać zaślepki w rury, zalecam szlifowanie wewnętrznej powierzchni wydrukowanej w 3D zaślepki, aż dopasowanie będzie dokładne.

Krok 9: Montaż układu napędowego (bieg jałowy)

Śruby i nakrętki, których używałem miały średnicę 4mm chociaż otwory na kole pasowym i łożyskach miały 6mm, dlatego musiałem wydrukować adaptery 3D i wepchnąć je w otwory koła pasowego i łożysk tak, aby nie chybotanie na śrubie. Jeśli masz nakrętki i śruby o odpowiednim rozmiarze, nie będziesz potrzebować tego kroku.

Zamontuj łożyska w uchwycie łożyska luźnego koła pasowego. Ponownie, jeśli pasowanie jest zbyt ciasne, użyj papieru ściernego, aby delikatnie przeszlifować wewnętrzną ściankę uchwytu łożyska koła pasowego. Przełóż śrubę przez jedno z łożysk, a następnie wsuń koło pasowe na śrubę i zamknij drugi koniec drugim łożyskiem i zestawem uchwytów łożyska koła pasowego.

Gdy to zrobisz, przymocuj parę uchwytów łożysk jałowego koła pasowego do płyty mocującej jałowego koła pasowego i przymocuj zaślepki do dolnej powierzchni tej płyty, podobnie jak w poprzednim kroku. Na koniec zakryj przeciwległy koniec dwóch rur PVC za pomocą tych zaślepek. Dzięki temu szyny do Twojego wózka są kompletne.

Krok 10: Montaż suwnicy

Następnym krokiem jest zbudowanie wózka. Połącz ze sobą dwie rolki za pomocą płyty gantry i 4 śrub i nakrętek. Płyty gantry mają szczeliny, dzięki którym można regulować pozycję płyty w celu niewielkich regulacji.

Następnie zamontuj dwa mocowania pasa po obu stronach płyty gantry. Upewnij się, że mocujesz je od dołu, w przeciwnym razie pasek nie będzie na tym samym poziomie. Upewnij się, że śruby są wprowadzane również od dołu, ponieważ w przeciwnym razie, jeśli śruby są zbyt długie, mogą spowodować zablokowanie pasa.

Na koniec przymocuj uchwyt wahadła z przodu wózka za pomocą nakrętek i śrub.

Krok 11: Montaż wahadła

Wahadło zostało wykonane w dwóch częściach, aby zaoszczędzić na materiale. Możesz skleić dwa kawałki razem, wyrównując zęby i sklejając je. Ponownie wepchnij podkładki dystansowe otworu łożyska do dwóch łożysk, aby skompensować mniejsze średnice śrub, a następnie wepchnij łożyska do otworów łożyskowych dwóch części uchwytu łożyska wahadła. Zaciśnij dwie wydrukowane w 3D części po każdej stronie dolnego końca wahadła i zabezpiecz je razem za pomocą 3 nakrętek i śrub przechodzących przez uchwyty łożyska wahadła. Przełóż śrubę przez dwa łożyska i zabezpiecz drugi koniec odpowiednią nakrętką.

Następnie chwyć MPU6050 i przymocuj go na przeciwległym końcu wahadła za pomocą śrub montażowych.

Krok 12: Montaż wahadła i pasów

Ostatnim krokiem jest zamontowanie wahadła na wózku. Zrób to, przepuszczając śrubę, którą wcześniej przeszedłeś przez dwa łożyska wahadła, przez otwór w uchwycie wahadła, który jest przymocowany z przodu wózka, i użyj nakrętki na drugim końcu, aby zamocować wahadło na wózku.

Na koniec chwyć pasek GT2 i najpierw przymocuj jeden koniec do jednego z zaczepów do paska, który jest zaciśnięty na wózku. W tym celu użyłem zgrabnego klipsa do paska, który można wydrukować w 3D, który przyczepia się do końca paska i zapobiega jego wyślizgiwaniu się przez wąską szczelinę. STL dla tego utworu można znaleźć na Thingiverse, korzystając z tego linku. Owiń pasek dookoła koła pasowego krokowego i jałowego koła pasowego i przymocuj drugi koniec paska do elementu mocującego pasek na przeciwległym końcu wózka. Napnij pasek, uważając, aby nie napiąć go zbyt mocno lub nie pozostawić go zbyt luźno, a dzięki temu twoje wahadło i wózek są kompletne!

Krok 13: Okablowanie i elektronika

Okablowanie polega na podłączeniu MPU6050 do Arduino oraz okablowaniu układu napędowego. Postępuj zgodnie ze schematem okablowania załączonym powyżej, aby podłączyć każdy element.

MPU6050 do Arduino:

• GND do GND
• +5V do +5V
• SDA do A4
• SCL do A5
• Int do D2

Silnik krokowy do sterownika krokowego:

• Cewka 1(a) do 1A
• Cewka 1(b) do 1B
• Cewka 2(a) do 2A
• Cewka 2(b) do 2B

Sterownik krokowy do Arduino:

• GND do GND
• VDD do +5v
• KROK do D3
• DIR do D2
• VMOT do dodatniego zacisku zasilacza
• GND do zacisku uziemienia zasilacza;

Piny Sleep i Reset na sterowniku krokowym muszą być połączone zworką. I wreszcie, dobrym pomysłem jest podłączenie kondensatora elektrolitycznego o pojemności około 100 uF równolegle do zacisków dodatniego i masy zasilacza.

Krok 14: Sterowanie systemem (sterowanie proporcjonalne)

Początkowo postanowiłem wypróbować podstawowy system sterowania proporcjonalnego, czyli prędkość wózka jest po prostu proporcjonalna o pewien współczynnik do kąta, jaki wahadło tworzy z pionem. Miał to być po prostu test, aby upewnić się, że wszystkie części działają poprawnie. Chociaż ten podstawowy system proporcjonalny był wystarczająco solidny, aby wahadło było już w równowadze. Wahadło może nawet dość solidnie przeciwdziałać delikatnym pchnięciom i szturchnięciom. Chociaż ten system sterowania działał wyjątkowo dobrze, nadal miał kilka problemów. Jeśli spojrzymy na wykres odczytów IMU w określonym czasie, możemy wyraźnie zauważyć oscylacje w odczytach czujnika. Oznacza to, że za każdym razem, gdy sterownik próbuje dokonać korekty, jest ona zawsze przesterowana o pewną wartość, co jest w rzeczywistości samą naturą proporcjonalnego systemu sterowania. Ten drobny błąd można skorygować, wdrażając inny rodzaj kontrolera, który uwzględnia wszystkie te czynniki.

Kod proporcjonalnego systemu sterowania znajduje się poniżej. Kod wymaga obsługi kilku dodatkowych bibliotek, którymi są biblioteka MPU6050, biblioteka PID oraz biblioteka AccelStepper. Można je pobrać za pomocą zintegrowanego menedżera bibliotek Arduino IDE. Po prostu przejdź do Sketch >> Include Library >> Manage Libraries, a następnie po prostu wyszukaj PID, MPU6050 i AccelStepper w pasku wyszukiwania i zainstaluj je, klikając przycisk Instaluj.

Chociaż radzę wszystkim z Was, którzy są entuzjastami nauki i matematyki, spróbować zbudować tego rodzaju kontroler od podstaw. To nie tylko wzmocni twoje koncepcje dotyczące dynamiki i teorii sterowania, ale także da ci możliwość wdrożenia swojej wiedzy w rzeczywistych zastosowaniach.

Krok 15: Sterowanie systemem (sterowanie PID)

Ogólnie rzecz biorąc, w prawdziwym życiu, gdy system sterowania okaże się wystarczająco solidny do zastosowania, inżynierowie zwykle po prostu kończą projekt, zamiast nadmiernie komplikować sytuacje, stosując bardziej złożone systemy sterowania. Ale w naszym przypadku budujemy to odwrócone wahadło wyłącznie w celach edukacyjnych. Dlatego możemy spróbować przejść do bardziej złożonych systemów sterowania, takich jak sterowanie PID, które mogą okazać się znacznie bardziej niezawodne niż podstawowy system proporcjonalnego sterowania.

Chociaż sterowanie PID było znacznie bardziej skomplikowane do wdrożenia, po prawidłowym wdrożeniu i znalezieniu doskonałych parametrów strojenia wahadło znacznie lepiej wyważało. W tym momencie może również przeciwdziałać lekkim wstrząsom. Odczyty z IMU w określonym czasie (załączone powyżej) dowodzą również, że odczyty nigdy nie odbiegają zbyt daleko od pożądanej wartości zadanej, czyli pionowej, pokazując, że ten system sterowania jest znacznie bardziej skuteczny i solidny niż podstawowe sterowanie proporcjonalne.

Jeszcze raz radzę wszystkim, którzy są entuzjastami nauki i matematyki, aby spróbowali zbudować kontroler PID od podstaw przed użyciem kodu, który jest załączony poniżej. Można to potraktować jako wyzwanie i nigdy nie wiadomo, że ktoś mógłby wymyślić system sterowania, który jest znacznie bardziej wytrzymały niż wszystko, czego próbowano do tej pory. Chociaż dostępna jest już solidna biblioteka PID dla Arduino, opracowana przez Bretta Beauregard, którą można zainstalować z menedżera bibliotek w Arduino IDE.

Uwaga: Każdy system kontroli i jego wyniki są przedstawione w filmie dołączonym w pierwszym kroku.

Krok 16: Dalsze ulepszenia

Jedną z rzeczy, które chciałem wypróbować, była funkcja „swing-up”, w której wahadło początkowo wisi poniżej wózka, a wózek wykonuje kilka szybkich ruchów w górę i w dół wzdłuż toru, aby podnieść wahadło z zawieszenia do pozycji odwróconej do góry nogami. Ale w obecnej konfiguracji nie było to możliwe, ponieważ długi kabel musiał łączyć bezwładnościową jednostkę pomiarową z Arduino, dlatego pełne koło wykonane przez wahadło mogło spowodować skręcenie i zahaczenie kabla. Z tym problemem można sobie poradzić, stosując enkoder obrotowy przymocowany do czopa wahadła zamiast bezwładnościowej jednostki pomiarowej na samym jej końcu. W przypadku enkodera tylko jego wałek kręci się wraz z wahadłem, podczas gdy korpus pozostaje nieruchomy, co oznacza, że kable się nie skręcają.

Drugą funkcją, którą chciałem wypróbować, było zrównoważenie podwójnego wahadła na wózku. System ten składa się z dwóch połączonych ze sobą wahadeł. Chociaż dynamika takich systemów jest znacznie bardziej złożona i wymaga znacznie więcej badań.

Krok 17: Wyniki końcowe

Taki eksperyment może pozytywnie zmienić nastrój klasy. Ogólnie rzecz biorąc, większość ludzi woli mieć możliwość zastosowania koncepcji i pomysłów do ich skrystalizowania, w przeciwnym razie idee pozostają „w powietrzu”, co sprawia, że ludzie mają tendencję do szybszego zapominania o nich. Był to tylko jeden przykład zastosowania pewnych pojęć poznanych podczas zajęć w rzeczywistych zastosowaniach, chociaż z pewnością wzbudzi to entuzjazm uczniów, którzy w końcu spróbują wymyślić własne eksperymenty w celu przetestowania teorii, co sprawi, że ich przyszłe zajęcia będą znacznie bardziej żywy, co sprawi, że będą chcieli dowiedzieć się więcej, co sprawi, że wymyślą nowsze eksperymenty i ten pozytywny cykl będzie trwał, dopóki przyszłe sale lekcyjne nie będą pełne takich zabawnych i przyjemnych eksperymentów i projektów.

Mam nadzieję, że będzie to początek wielu kolejnych eksperymentów i projektów! Jeśli spodobała Ci się ta instrukcja i okazała się pomocna, oddaj głos poniżej w „Konkursie naukowym w klasie”, a wszelkie komentarze i sugestie są mile widziane! Dziękuję Ci!:)

Drugie miejsce w konkursie naukowym w klasie