Gauss i parabola do badania strumieni świetlnych LED lampy eksperymentalnej: 6 kroków

2024 Autor: John Day | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-30 11:27

Witam wszystkich twórców i tętniącą życiem społeczność Instructable.

Tym razem Merenel Research przyniesie Ci czysty problem badawczy i sposób na jego rozwiązanie za pomocą matematyki.

Sam miałem ten problem podczas obliczania strumieni LED zbudowanej przeze mnie lampy LED RGB (i którą nauczę budować). Po intensywnych poszukiwaniach w Internecie nie znalazłem odpowiedzi, więc tutaj zamieszczam rozwiązanie.

PROBLEM

Bardzo często w fizyce mamy do czynienia z krzywymi, które mają kształt rozkładu Gaussa. Tak! Jest to krzywa w kształcie dzwonu używana do obliczania prawdopodobieństwa i została nam przyniesiona od wielkiego matematyka Gaussa.

Krzywa Gaussa jest szeroko wykorzystywana w rzeczywistych zastosowaniach fizycznych, zwłaszcza gdy mamy do czynienia z promieniowaniem rozchodzącym się ze źródła lub odbieranym z odbiornika, na przykład:

- emisja mocy sygnału radiowego (np. Wi-Fi);

- strumień świetlny emitowany z diody LED;

- odczyt fotodiody.

W danych producenta często podajemy rzeczywistą wartość pola gaussowskiego, która byłaby całkowitą mocą promieniowania lub strumieniem świetlnym w pewnym fragmencie widma (np. diody LED), ale obliczenie rzeczywistego promieniowania staje się trudne emitowane w szczycie krzywej lub jeszcze trudniejsze do poznania nakładające się promieniowanie dwóch bliskich źródeł, na przykład jeśli oświetlamy więcej niż diodą LED (np. Niebieską i Zieloną).

W tym instruktażowym artykule wyjaśnię, jak przybliżyć Gaussa za pomocą krzywej, która jest łatwiejsza do uchwycenia: parabola. Odpowiem na pytanie: ile krzywych Gaussa jest w Paraboli?

SPOILER → ODPOWIEDŹ TO:

Pole Gaussa to zawsze 1 jednostka.

Powierzchnia odpowiadającej paraboli o tej samej podstawie i wysokości jest 2,13 razy większa niż względna powierzchnia Gaussa (zobacz ilustrację graficzną).

Więc Gaussian to 46,94% jego paraboli i ta zależność jest zawsze prawdziwa.

Te dwie liczby są powiązane w ten sposób 0,46948=1/2,13, jest to ścisła matematyczna zależność między krzywą Gaussa a jej parabolą i na odwrót.

W tym przewodniku poprowadzę Cię krok po kroku do odkrycia tego.

Jedynym instrumentem, którego będziemy potrzebować, jest Geogebra.org, świetne narzędzie matematyczne online do rysowania wykresów.

Wykres Geogebry, który stworzyłem, aby porównać parabolę do Gaussa, można znaleźć pod tym linkiem.

Ta instrukcja jest długa, ponieważ dotyczy demonstracji, ale jeśli musisz szybko rozwiązać ten sam problem, który miałem ze strumieniami świetlnymi LED lub innym zjawiskiem z nakładającymi się krzywymi Gaussa, po prostu przejdź do arkusza kalkulacyjnego, który znajdziesz załączony w kroku 5 tego poradnika, który ułatwi Ci życie i automatycznie wykona za Ciebie wszystkie obliczenia.

Mam nadzieję, że lubisz matematykę stosowaną, ponieważ ta instrukcja dotyczy tego.

Krok 1: Zrozumienie światła emitowanego przez monochromatyczną diodę LED

W tej analizie rozważę serię kolorowych diod LED, jak wyraźnie widać na ich wykresie widma (pierwsze zdjęcie), ich widmowy rozkład mocy naprawdę wygląda jak Gaussian, który zbiega się w osi x przy -33 i +33 nm średniej (producenci zwykle podaje tę specyfikację). Należy jednak wziąć pod uwagę, że reprezentacja tego wykresu normalizuje wszystkie widma na pojedynczej jednostce mocy, ale diody LED mają różną moc w zależności od tego, jak wydajnie są produkowane i ile prądu elektrycznego (mA) do nich dostarczasz.

Jak widać czasami strumień świetlny dwóch diod LED nakłada się na widmo. Powiedzmy, że chcę łatwo obliczyć obszar nakładania się tych krzywych, bo w tym obszarze będzie podwójna moc i chcę wiedzieć, ile mamy tam mocy w lumenach (lm), no cóż, nie jest proste zadanie, na które postaramy się odpowiedzieć w tym przewodniku. Problem powstał, ponieważ kiedy budowałem eksperymentalną lampę, naprawdę chciałem wiedzieć, jak bardzo nakładają się widma niebieskiego i zielonego.

Skupimy się tylko na diodach monochromatycznych, czyli takich, które emitują w wąskim zakresie widma. W tabeli: NIEBIESKI KRÓLEWSKI, NIEBIESKI, ZIELONY, POMARAŃCZOWO-CZERWONY, CZERWONY. (Rzeczywista zbudowana przeze mnie lampa to RGB)

FIZYKA TŁO

Cofnijmy się trochę i najpierw trochę wyjaśnijmy fizykę.

Każda dioda LED ma kolor, a bardziej naukowo powiedzielibyśmy, że ma długość fali (λ), która ją określa i która jest mierzona w nanometrach (nm) i λ=1/f, gdzie f jest częstotliwością oscylacji fotonu.

Więc to, co nazywamy CZERWONYM, to w zasadzie (wielka) wiązka fotonów, które oscylują przy 630 nm, te fotony uderzają w materię i odbijają się w naszych oczach, które działają jak receptory, a następnie twój mózg przetwarza kolor obiektu jako CZERWONY; lub fotony mogą trafić bezpośrednio do twoich oczu i zobaczysz diodę LED, która je emituje, świecącą na CZERWONO.

Odkryto, że to, co nazywamy światłem, jest w rzeczywistości tylko niewielką częścią widma elektromagnetycznego, między 380 nm a 740 nm; więc światło jest falą elektromagnetyczną. Ciekawe w tej części widma jest to, że to właśnie ten fragment widma łatwiej przechodzi przez wodę. Zgadnij co? Nasi starożytni przodkowie z Pierwotnej Zupy faktycznie przebywali w wodzie i to właśnie w wodzie pierwsze, bardziej złożone, żywe istoty zaczęły rozwijać oczy. Proponuję obejrzeć film Kurzgesagt, który załączyłem, aby lepiej zrozumieć, czym jest światło.

Podsumowując, dioda LED emituje światło, czyli pewną ilość mocy radiometrycznej (mW) przy określonej długości fali (nm).

Zwykle, gdy mamy do czynienia ze światłem widzialnym nie mówimy o mocy radiometrycznej (mW), ale o strumieniu świetlnym (lm), który jest jednostką miary ważoną w reakcji na światło widzialne ludzkich oczu, wywodzi się on z jednostka miary kandeli i jest mierzona w lumenach (lm). W tej prezentacji rozważymy ilość lumenów emitowanych przez diody LED, ale wszystko będzie dotyczyło mW dokładnie w takim samym stopniu.

W każdym arkuszu danych LED producent poda te informacje:

Na przykład z tego załączonego arkusza danych widać, że jeśli zasilasz oba ledy 100mA, masz to:

NIEBIESKI ma 480nm i 11lm strumienia świetlnego;

ZIELONY ma długość 530nm i strumień świetlny 35lm.

Oznacza to, że krzywa Gaussa koloru niebieskiego będzie wyższa, wzrośnie bardziej, bez zmiany szerokości i będzie oscylować wokół części ograniczonej niebieską linią. W tym artykule wyjaśnię, jak obliczyć wysokość Gaussa, która wyraża pełną moc szczytową emitowaną przez diodę LED, a nie tylko moc emitowaną w tej części widma, niestety ta wartość będzie niższa. Ponadto postaram się przybliżyć nakładającą się część dwóch diod LED, aby zrozumieć, jak bardzo nakłada się strumień świetlny, gdy mamy do czynienia z diodami LED, które są „sąsiadami” w widmie.

Pomiar strumienia świetlnego diod LED to bardzo złożona sprawa, jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, przesłałem szczegółowy artykuł firmy Osram, który wyjaśnia, jak to się robi.

Krok 2: Wprowadzenie do paraboli

Nie będę wdawał się w szczegóły dotyczące paraboli, ponieważ jest ona intensywnie badana w szkole.

Równanie paraboli można zapisać w postaci:

y=ax^2+bx+c

ARCHIMEDES NAM POMAGA

To, co chciałbym podkreślić, to ważne twierdzenie geometryczne Archimedesa. Twierdzenie mówi, że pole paraboli ograniczonej w prostokącie jest równe 2/3 pola prostokąta. Na pierwszym obrazku z parabolą widać, że niebieski obszar to 2/3, a różowe obszary to 1/3 pola prostokąta.

Możemy obliczyć parabolę i jej równanie znając trzy punkty paraboli. W naszym przypadku obliczymy wierzchołek i znamy przecięcia z osią x. Na przykład:

NIEBIESKI Wierzchołek LED(480, ?) Y wierzchołka jest równa mocy świetlnej emitowanej przy szczytowej długości fali. Aby to obliczyć, użyjemy relacji, która istnieje między polem Gaussa (rzeczywisty strumień emitowany przez diodę LED) a polem paraboli i użyjemy twierdzenia Archimedesa, aby poznać wysokość prostokąta, który zawiera tę parabolę.

x1(447, 0)

x2(513, 0)

MODEL PARABOLICZNY

Patrząc na zdjęcie, które zamieściłem, możesz zobaczyć złożony model do reprezentowania parabolami kilku różnych strumieni świetlnych LED, ale wiemy, że ich reprezentacja nie jest dokładnie taka, ponieważ przypomina bardziej Gaussa.

Jednak w przypadku parabol, korzystając ze wzorów matematycznych, możemy znaleźć wszystkie punkty przecięcia kilku parabol i obliczyć przecinające się obszary.

W kroku 5 dołączyłem arkusz kalkulacyjny, w którym umieściłem wszystkie wzory do obliczenia wszystkich parabol i ich przecinających się obszarów monochromatycznych diod LED.

Zwykle podstawa Gaussa diody LED jest duża 66 nm, więc jeśli znamy dominującą długość fali i przybliżamy promieniowanie LED za pomocą paraboli, wiemy, że względna parabola przetnie oś x w λ+33 i λ-33.

Jest to model, który przybliża całkowitą ilość emitowanego światła LED z parabolą. Ale wiemy, że jeśli chcemy być precyzyjni, to nie jest do końca właściwe, musielibyśmy użyć krzywych Gaussa, co prowadzi nas do następnego kroku.

Krok 3: Wprowadzenie do krzywej Gaussa

Gauss to krzywa, która brzmi bardziej złożona niż parabola. Został wymyślony przez Gaussa, aby interpretować błędy. W rzeczywistości ta krzywa jest bardzo przydatna, aby zobaczyć rozkład probabilistyczny zjawiska. O ile poruszamy się w lewo lub w prawo od średniej to pewne zjawisko występuje rzadziej i jak widać na ostatnim obrazku ta krzywa jest bardzo dobrym przybliżeniem rzeczywistych zjawisk.

Formuła Gaussa jest przerażająca, którą widzisz jako drugi obraz.

Właściwości Gaussa to:

- jest symetryczny względem średniej;

- x = μ pokrywają się nie tylko ze średnią arytmetyczną, ale także z medianą i modą;

- jest asymptotyczna na osi x z każdej strony;

- zmniejsza się o xμ;

- ma dwa punkty przegięcia w x = μ-σ;

- powierzchnia pod krzywą wynosi 1 jednostkę (jest to prawdopodobieństwo, że dowolny x zweryfikuje)

σ to odchylenie standardowe, im większa liczba, tym szersza baza Gaussa (pierwszy rysunek). Jeśli wartość znajduje się w części 3σ, wiedzielibyśmy, że naprawdę oddala się od średniej i jest mniejsze prawdopodobieństwo, że tak się stanie.

W naszym przypadku, z diodami LED, znamy pole Gaussa, czyli strumień świetlny podany w karcie katalogowej producenta przy danej długości fali szczytowej (która jest średnią).

Krok 4: Demonstracja z Geogebrą

W tej sekcji nauczę Cię, jak używać Geogebry, aby zademonstrować, że parabola jest 2,19 razy większa od Gaussa.

Najpierw musisz utworzyć kilka zmiennych, klikając polecenie suwaka:

Odchylenie standardowe σ=0,1 (odchylenie standardowe określa, jak szeroka jest krzywa Gaussa, wstawiłem małą wartość, ponieważ chciałem ją zawęzić, aby symulować widmowy rozkład mocy LED)

Średnia wynosi 0, więc Gauss jest zbudowany na osi y, gdzie łatwiej jest pracować.

Kliknij funkcję małej fali, aby aktywować sekcję funkcji; tam, klikając fx, możesz wstawić formułę Gaussa, a na ekranie pojawi się ładna, wysoka krzywa Gaussa.

Graficznie zobaczysz, gdzie krzywa zbiega się na osi x, w moim przypadku w X1(-0,4;0) i X2(+0,4;0) oraz gdzie wierzchołek znajduje się w V(0;4).

Dzięki tym trzem punktom masz wystarczająco dużo informacji, aby znaleźć równanie paraboli. Jeśli nie chcesz wykonywać obliczeń ręcznie, w następnym kroku możesz skorzystać z tej strony internetowej lub arkusza kalkulacyjnego.

Użyj polecenia funkcji (fx), aby wypełnić właśnie znalezioną funkcję paraboli:

y=-25x^2 +4

Teraz musimy zrozumieć, ile Gaussów znajduje się w paraboli.

Będziesz musiał użyć polecenia funkcji i wstawić polecenie Integral (lub Integrale w moim przypadku, ponieważ używałem wersji włoskiej). Całka oznaczona to działanie matematyczne, które pozwala nam obliczyć pole funkcji zdefiniowanej między wartościami do x. Jeśli nie pamiętasz, czym jest całka oznaczona, przeczytaj tutaj.

a=Całka(f, -0,4, +0,4)

Ta formuła Geogebry rozwiąże określoną całkę między -0,4 a +0,4 funkcji f, Gaussa. Ponieważ mamy do czynienia z Gaussianem, jego powierzchnia wynosi 1.

Zrób to samo dla paraboli, a odkryjesz magiczną liczbę 2.13. Który jest kluczem do wszystkich konwersji strumienia świetlnego za pomocą diod LED.

Krok 5: Przykład z życia wzięty z diodami LED: obliczanie szczytu strumienia i nakładających się strumieni

STRUMIEŃ ŚWIETLNY NA SZCZYCIE

Obliczenie rzeczywistej wysokości mieszanych krzywych Gaussa rozkładu strumienia LED, teraz, gdy odkryliśmy współczynnik konwersji 2,19, jest bardzo łatwe.

na przykład:

NIEBIESKA dioda LED ma 11lm strumienia świetlnego

- konwertujemy ten strumień z Gaussa na paraboliczny 11 x 2,19 = 24,09

- używamy twierdzenia Archimedesa do obliczenia względnego pola prostokąta zawierającego parabolę 24,09 x 3/2 = 36,14

- znajdujemy wysokość tego prostokąta dzieląc na podstawę Gaussa dla NIEBIESKIEJ LED, podaną w arkuszu danych lub widzianą na wykresie arkusza danych, zwykle około 66nm, a to jest nasza moc w szczycie 480nm: 36,14 / 66= 0,55

NAKŁADAJĄCE SIĘ OBSZARY STRUMIENIA ŚWIETLNEGO

Aby obliczyć dwa nakładające się promieniowanie, wyjaśnię na przykładzie z następującymi dwiema diodami LED:

NIEBIESKI ma 480nm i ma 11lm strumienia świetlnego ZIELONY ma 530nm i ma 35lm strumienia świetlnego

Wiemy i widzimy z wykresu, że obie krzywe Gaussa zbiegają się w zakresie -33nm i +33nm, w konsekwencji wiemy, że:

- NIEBIESKI przecina oś x w 447nm i 531nm

- ZIELONY przecina oś x w 497nm i 563nm

Widzimy wyraźnie, że dwie krzywe przecinają się, ponieważ jeden koniec pierwszej znajduje się za początkiem drugiej (531nm>497nm), więc światło tych dwóch diod LED nakłada się w niektórych punktach.

Najpierw musimy obliczyć równanie paraboli dla obu. Załączony arkusz kalkulacyjny jest po to, aby pomóc Ci w obliczeniach i zawiera formuły do rozwiązywania układu równań w celu określenia dwóch parabol, które znają punkty przecięcia osi x i wierzchołek:

NIEBIESKA parabola: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

ZIELONA parabola: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

w obu przypadkach a>0 i, więc parabola jest prawidłowo skierowana do góry nogami.

Aby udowodnić, że te parabole są prawidłowe, po prostu wpisz a, b, c w kalkulatorze wierzchołków na tej stronie kalkulatora paraboli.

W arkuszu kalkulacyjnym wszystkie obliczenia są już wykonane, aby znaleźć punkty przecięcia między parabolami i obliczyć całkę oznaczoną, aby uzyskać przecinające się obszary tych parabol.

W naszym przypadku przecinające się obszary widm niebieskiej i zielonej diody LED to 0,4247.

Gdy już mamy przecinające się parabole, możemy pomnożyć ten nowo utworzony obszar przecinający się dla mnożnika Gaussa 0,4694 i znaleźć bardzo bliskie przybliżenie, ile mocy diody LED emitują łącznie w tej sekcji widma. Aby znaleźć pojedynczy strumień LED emitowany w tej sekcji, wystarczy podzielić przez 2.

Krok 6: Badanie monochromatycznych diod LED eksperymentalnej lampy jest już zakończone

Cóż, bardzo dziękuję za przeczytanie tego badania. Mam nadzieję, że przyda Ci się dogłębne zrozumienie, w jaki sposób światło emitowane jest z lampy.

Studiowałem strumienie diod LED specjalnej lampy wykonanej z trzech rodzajów monochromatycznych diod LED.

"Składniki" do wykonania tej lampy to:

- 3 NIEBIESKIE LED

-4 LED ZIELONY

- 3 diody LED CZERWONE

- 3 rezystory ograniczające prąd w gałęziach obwodu LED

-Zasilacz 12V 35W

-Wytłaczana osłona akrylowa

- Sterowanie OSRAM OT BLE DIM (jednostka sterująca Bluetooth LED)

- Radiator aluminiowy

- Pogrubienia i nakrętki M5 oraz wsporniki L

Kontroluj wszystko za pomocą aplikacji Casambi ze smartfona, możesz włączać i ściemniać każdy kanał LED osobno.

Zbudowanie lampy jest bardzo proste:

- przymocuj diodę LED do radiatora taśmą dwustronną;

- lutuj szeregowo wszystkie diody BLU LED z rezystorem i zrób to samo z innym kolorem dla każdej gałęzi obwodu. Zgodnie z wybranymi przez Ciebie diodami LED (ja użyłem Lumileds LED) będziesz musiał wybrać wielkość rezystora w stosunku do tego, ile prądu podasz do diody LED i do całkowitego napięcia podawanego przez zasilacz 12V. Jeśli nie wiesz, jak to zrobić, sugeruję przeczytanie tej wspaniałej instrukcji o tym, jak określić rozmiar rezystora, aby ograniczyć prąd serii diod LED.

- podłącz przewody do każdego kanału Osram OT BLE: wszystkie główne plusy gałęzi diod LED trafiają do wspólnego (+) a trzy minusy gałęzi trafiają odpowiednio do -B (niebieski) -G (zielony) -R (czerwony).

- Podłącz zasilanie do wejścia Osram OT BLE.

Teraz fajne w Osram OT BLE jest to, że możesz tworzyć scenariusze i programować kanały LED, jak widać w pierwszej części filmu ściemniam trzy kanały, a w drugiej części filmu używam niektórych gotowe scenariusze świetlne.

WNIOSKI

Szeroko korzystałem z matematyki, aby dogłębnie zrozumieć, jak będą się rozchodzić strumienie tych lamp.

Naprawdę mam nadzieję, że nauczyłeś się dzisiaj czegoś pożytecznego i dołożę wszelkich starań, aby przybliżyć więcej przypadków dogłębnych badań stosowanych, takich jak ten.

Badania to podstawa!

Tak długo!

Pietro